“Da kommt acht Achtel raus.” sagt meine Nachhilfeschülerin Sandra zuversichtlich. Ich möchte ihr diese Zuversicht nicht rauben, sie wird sie in der Prüfung zur Mittleren Reife dringend brauchen, aber ich frage doch nach: “Und das willst du jetzt so als Ergebnis hinschreiben?” Sandra ahnt natürlich, dass “ja” hier nicht die richtige Antwort ist.Aber worauf genau will ich hinaus? “Das kann man noch kürzen.” sag ich schließlich. Ihr Blick erhellt sich. Sie greift zum Taschenrechner.
Ich bin keine gute Nachhilfelehrerin. Ich erwarte zu viel. “Kannst Du nicht ohne Taschenrechner sehen, was da rauskommt?” Nein, das kann sie nicht, wozu auch — wo es doch der Taschenrechner kann. Tatsächlich bin ich beeindruckt von dem, was ihr Taschenrechner alles kann: Wertetabellen von Funktionen ausspucken, Scheitelpunkte von Parabeln berechnen, sogar Maxima und Minima kann er. Etwas weniger beeindruckt bin ich von dem, was Sandra kann.
Ich bin keine gute Nachhilfelehrerin, weil ich keine Ahnung habe, wie ich ihr helfen soll. Ich sage Dinge wie “ausklammern” und “Vorzeichen beachten” und “kürzen” — wohl wissend, dass ihr das in der Prüfung nicht helfen wird. Ich bin ähnlich hilflos wie damals, als ich verzweifelt “Pflug! Pflug! Pflug!” schrie, während meine Söhne zum ersten Mal den Skihang hinunter sausten. (Ich war auch keine gute Skilehrerin.) Ob kürzen bei acht Achtel überhaupt das richtige ist? Wenn ich acht Achtel höre, dann sehe ich vor meinem inneren Auge einen Kuchen, der in acht Stücke geteilt ist. Ich kürze nicht, ich rechne nicht, ich sehe einfach, dass da ein Kuchen ist. Aber das nützt meiner Nachhilfeschülerin nichts, dass ich das sehe. Sie sieht es eben nicht.
Mein Sohn bittet um Hilfe bei einer Hausaufgabe. Was er gerade durchnimmt? Rechengesetze beim Sinus. Das sagt mir erstmal nichts, und ihm sagt es leider auch nichts. Wir drehen uns im Kreis, bis ich frage: was ist denn überhaupt der Sinus für dich? Die Frage irritiert ihn. Was soll der Sinus schon sein? Das ist einfach ein Begriff, der in den Rechengesetzen aufgetaucht ist, die er bei diesen Aufgaben anwenden soll. Doch dann fällt ihm doch etwas ein, was er dazu gelernt hat: “Der Sinus ist die Ankathete … äh nein … Gegenkathete durch die Hypo … äh … irgendwas.” Wie soll ich reagieren? Soll ich sagen: “Das heißt Hypotenuse — du musst die Fachbegriffe können!” Soll ich sagen: “Gut. Das ist im Prinzip richtig.” Oder soll ich sagen: “So ein Schmarrn!” Das letztere käme meiner ehrlichen Meinung am nächsten.
Für mich ist der Sinus etwas ganz anderes — kein Satz aus Wörtern, sondern ein Bild. Ich sehe eine Art Kurbel vor mir. Sie hat die Länge 1, und rotiert um den Ursprung des Koordinatensystems. Bei α = 0° zeigt die Kurbel nach rechts, bei α = 90° nach oben. Und der Sinus ist die Höhe des Kurbel-Endpunkts — des Griffs, wenn man so will. In meinem konkreten Bild steht die Kurbel bei α = 30° und hat dabei die Höhe ½. Im selben Bild sehe ich auch noch den Cosinus, wenn auch etwas blasser. Während der Sinus der vertikale Abstand des Kurbelgriffs ist (von der x-Achse), ist der Cosinus der horizontale Abstand (von der y-Achse). Mehr muss man meiner Meinung nach zum Sinus nicht wissen. Weil ich pragmatisch bin, habe ich mir noch gemerkt, dass der Cosinus an dieser Stelle (also α = 30°) die Hälfte von Wurzel 3 ist. Es ist die Lieblingsaufgabe aller Mathelehrer und man spart sich viel Rechnerei, wenn man das weiss.
Neugierig geworden, frage ich ein paar Freunde und Kollegen, was ihnen zum Sinus einfällt. “Der Einheitskreis” sagen die, die ein ähnliches Bild im Kopf haben wie ich. “Die Sinuskurve” sagen andere und malen sie zum Beweis in die Luft. “Gar nichts” sagen wieder andere, aber man spürt, dass sie sehr wohl etwas assoziieren: sehr unangenehme Erinnerungen aus der Schulzeit. Eine Freundin malt eine Parabel, stolz darauf, dass ihr das noch eingefallen ist. “Was hat denn die Parabel mit dem Sinus zu tun?” frage ich verwirrt. Das kann sie mir nicht sagen. Wir rätseln eine Weile, bis ihr ein oranges Plastiklineal einfällt, das die Form einer Parabel hatte. “Stimmt.” sag ich. “Wir hatten das gleiche. In der Mitte war eine Schablone mit der Sinuskurve drin!” Da kommt mir nun das, was mein Sohn vom Sinus weiss, vergleichsweise brauchbar vor.
Es ist immerhin richtig, nur nicht sonderlich nützlich. Mein Wissen ist alltagstauglicher, denn ich möchte wetten, dass ihm in seinem Alltag selten Hypotenusen und Katheten begegnen, während in meinem Alltag Winkel durchaus auftauchen. Und auch beim Rechnen bin ich effizienter. Nehmen wir eine einfache Aufgabe wie sin (α) = -1. Ich schau nur auf meine Kurbel und sehe sofort, dass man sie ganz nach unten drehen muss, also auf α = -90° (oder α = 270° ) damit der Kurbelgriff die Höhe -1 erreicht. Mein Sohn muss sich erstmal seinen komplizierten Satz vergegenwärtigen (was schon schwierig sein wird). Dann muss er feststellen, dass der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse minus eins ist. Wie soll das gehen? Müsste da nicht eine Seite im Dreieck eine negative Länge haben? Er wird vermutlich Scheitern, ebenso wie meine Freundin mit dem orangen Lineal.(Aber sie hat ihr Abitur ja schon.)
Wenn ich nun diejenige bin, die die Frage am schnellsten beantworten kann, dann wird gesagt, das läge an meiner mathematischen Begabung. Aber liegt es nicht einfach daran, dass ich ein strategisch besseres Bild im Kopf habe? Und ist es nicht gemein, wenn ich meinem Sohn sage, dass es stimmt, dass der Sinus Gegenkathete durch Hypotenuse ist — auch wenn es natürlich stimmt. Führe ich ihn nicht hinters Licht, wenn ich mich hinter der Richtigkeit von mathematischen Definitionen und Rechengesetzen verstecke, ohne ihm zu verraten, wie ich eigentlich vorgehe, wenn ich eine Aufgabe löse?
Ich hab da eine handvoll Bilder, die ich beim Rechnen immer wieder betrachte. Diese Bilder sind meine Anlaufstellen, sie sind meine Bahnhöfe bei der Navigation durch die Mathematik. Brüche sind für mich Kuchenstücke. Gleichungen sehe ich als Waage, bei Ungleichungen dagegen sehe ich meine Grundschullehrerin mit einer Krokodil-Puppe in der Hand. Das Krokodil ist hungrig und schnappt deshalb immer nach der größeren Seite — das ist doch leicht zu verstehen, oder? Dann habe ich je ein Bild zur Winkelsumme im Dreieck, zum Satz von Pythagoras, zum Thaleskreis. Und ein Bild zu ähnlichen Dreiecken habe ich auch: das sind Dreiecke, die gleich ausschauen, aber verschieden groß sind. Bei dieser Größenveränderung werden alle Strecken im Dreieck um den gleichen Faktor gestreckt, Streckenverhältnisse bleiben jedoch erhalten. Für mich einer der wichtigsten Hauptbahnhöfe, den ich bei fast jedem Geometrie-Problem anfahre. Aber meine Kinder schauen mich groß an: ähnliche Dreiecke — nie davon gehört. Fast lasse ich mich überzeugen, entdecke dann aber doch das entsprechende Kapitel im Buch. Ach so, das, ja — das wurde direkt vor den großen Ferien durchgenommen. Wer hätte da ahnen sollen, dass es wichtig sein könnte?
Sie sind nicht unbegabt unsere beiden Teenager — weit gefehlt. Sie haben das, was sie lernen, im Prinzip schon verstanden, das kann ich sehen, und mit etwas Glück könnte es auch eine gute Note werden. Wären da nur nicht die ewigen Rechenfehler wie 2 + 3 = 6 und 2 • 3 = 5. (Mangelnde Konzentration, sagen die Lehrer — typisch für die Generation Smartphone.) Und außerdem ist ihnen die Zeit zu knapp. (Mangelnde Routine, sagen die Lehrer, und viel Routine haben sie tatsächlich nicht.)
Was die Lehrer sagen klingt durchaus überzeugend, aber so ganz überzeugt es mich doch nicht. Wenn mein Ältester beim Sinus langsam ist, liegt das nicht an fehlender Routine, sondern an fehlenden oder ungeschickten inneren Bildern. Und wenn man plus und mal verwechselt, könnte das nicht auch an ungünstigen inneren Bildern liegen? Warum passiert mir das praktisch nie?
Was sehe ich vor meinem inneren Auge, wenn ich 2 + 3 rechne? Ich sehe da fünf Finger, und auch die Rechenstäbchen, mit denen ich im Kindergartenalter gespielt habe: wenn man das Dreier-Stäbchen hinter das Zweier-Stäbchen legt, passt das Fünfer-Stäbchen ganz genau daneben! Wenn ich 2 • 3 rechne, sehe ich ein auf kariertes Papier gemaltes Rechteck, zwei Kästchen breit, drei Kästchen hoch. Man könnte dieses Rechteck erzeugen, indem man zwei Dreier-Stäbchen nebeneinander legt. Hintereinander gelegt passen die beiden Stäbchen neben das Sechser-Stäbchen, aber nie und nimmer neben das Fünfer-Stäbchen — das Fünfer-Stäbchen ist dafür doch viel zu kurz!
Und was sieht mein Teenager vor seinem inneren Auge, wenn er 2 + 3 oder 2 • 3 rechnet? Und vor allem, worin unterscheiden sich die beiden Bilder? “Da sehe ich gar kein Bild.” sagt er. “Für mich sind das einfach zwei Rechenaufgaben, die ich vor Ewigkeiten auswendig gelernt habe.” Bin ich dem Problem auf den Grund gegangen? Ich male ihm meine Bilder auf Karopapier auf. Wahrscheinlich gehe ich ihm schon wieder auf die Nerven, denke ich mir. Aber nein, er strahlt fasziniert. Meine Bilder leuchten ihm ein.
Kann es sein, frage ich mich, dass er den Unterschied zwischen plus und mal nur gelernt, aber nicht wirklich begriffen hat? Dass ihm einfach die Bilder fehlen? Dass er Mathematik als etwas Abstraktes erlebt (was gut ist) ohne Bezug zu einer konkreten Realität (was schlecht ist)? Dass er sein inneres Auge einfach zumacht, anstatt es für sich rechnen zu lassen? Und was könnte man da tun? Ich kann einem Teenager doch keine Rechenstäbchen zu Weihnachten schenken!
Am Abend fragen wir gespannt den Jüngsten (er ist 10). Was sieht er, wenn er 2 + 3 rechnet? “Da sehe ich die Zahlen vor mir.” Um genau zu sein: er sieht die Aufgabe als Text vor sich. Und was sieht er bei 2 • 3? Er überlegt kurz. “Da sehe ich Punkte.” Punkte? Was für Punkte? Aufgeregt suchen wir nach einem Stift, und er malt uns sein Bild auf: sechs Punkte, angeordnet wie die Augen bei der Würfel-Sechs. “Er macht es so wie du!” ruft mir der Mittlere begeistert zu, und betrachtet dann für einen Augenblick verwundert seinen kleinen Bruder. Was der wohl sieht, wenn er acht Achtel hört? Er hatte noch keine Brüche in der Schule, aber ich bin einfach neugierig. “Da sehe ich einen Kuchen.” sagt er prompt. “Und was für einen Kuchen?” frage ich nach. (Einen mit acht Stücken, würde ich zu gerne hören.) Er schaut mir prüfend ins Gesicht, neugierig rätselnd, worauf ich hinaus will, aber er kommt zu keinem Ergebnis. “Einen vollen.” sagt er schließlich und verschwindet gleich darauf. Er hat wohl genug von meinen seltsamen Fragen.
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